El origen de las matemáticas y el
empirismo matemático
El nacimiento de las matemáticas
Es indudable que las matemáticas tienen su origen en las
actividades de contar y medir, aunque el cómo sea más difícil de establecer. La
mejor hipótesis de la que disponemos se basa en los hallazgos arqueológicos en
Mesopotamia. Entre el siglo III y IV a. C. existieron fichas que tenían la
función de describir cantidades de productos, animales o cualquier elemento de
la actividad económica. La forma de hacerlo debe de haber sido aditiva durante
largo tiempo. Así, en caso de disponer de cinco animales, se representaría tal
cantidad por cinco fichas, pongamos por caso, en forma de cilindro.
Si, en cambio, se quería registrar cinco jarras de aceite,
se emplearían cinco ovoides con una marca. De este modo, cada ficha
representaría una unidad del producto cuya naturaleza viene representada por la
forma de la ficha y la cantidad presenta una representación aditiva. Con ello
tenemos la condición necesaria para la aparición de los números que es el
establecimiento de una correspondencia uno-a-uno entre los elementos a contar
(animales, jarras) y los elementos contables (fichas); pero todavía no tenemos
números.
El empirismo matemático
Para John Stuart Mill los conceptos matemáticos proceden del
mundo físico y las verdades de la matemática son verdades sobre el mundo
físico, aunque de un carácter más general. Las verdades matemáticas serían las
verdades más generales de todas. Una posición que puede ser fácilmente
confundida con la de Mill es la de David Hume.Para Hume, los conceptos
matemáticos tienen su origen remoto en la sensación que luego es transformada
por la actividad de la mente pero las verdades matemáticas son verdades sobre las
relaciones entre las ideas, no sobre lo percibido.
En su Tratado de la Naturaleza Humana (Hume 1739, Libro I,
Parte II), Hume mantiene que nuestros sentidos dan lugar a las impresiones que
son copiadas por nuestras ideas, las cuales son reorganizadas por nuestra
actividad mental dando lugar a ideas complejas. Un tipo de idea compleja son
las relaciones y dentro de ellas Hume destaca aquellas que dependen enteramente
de la comparación de ideas: la semejanza, los grados de cualidad y las
proporciones de cantidad. De estas tratan las matemáticas que, para Hume, son
básicamente la geometría y la aritmética.
La filosofía de las matemáticas de
Kant
La filosofía de la matemática de Kant elabora, desde el
punto de vista epistemológico, la práctica matemática de su época todavía
basada en la geometría de Euclides. La obra donde se pueden encontrar lo
fundamental de la filosofía de la matemática de Kant es su Crítica de la razón
pura, que además de ser también su obra más importante es una de las cimas de
la filosofía occidental moderna.
La filosofía de las matemáticas
después de Kant
Según Dummett, el primero en acometer la tarea de liberar al
análisis de la intuición fue el matemático y filósofo checo Bernard Bolzano.
Como filósofo fue una excepción por la poca influencia que Kant ejerció sobre
él. Como matemático, estaba determinado a eliminar la intuición del análisis, y
probar desde axiomas todo lo que pudiese ser probado, no importaba cómo de
obvio pudiese parecer cuando se pensaba en términos geométricos. Una razón para
esto fue que lo que parece obvio intuitivamente puede no ser verdadero.
Si pensamos en una función continua en un intervalo representada
por un una curva en un papel, parece intuitivamente obvio que, en el intervalo
dado, cualquier curva debe tener una pendiente excepto en un número finito de
puntos; cuando, por ejemplo, la curva está hecha de dos segmentos de línea
recta en ángulos diferentes, no hay pendiente en el punto en el que se
encuentran las dos líneas. Sin embargo, Bolzano obtuvo el primer ejemplo de una
función continua en un intervalo pero que no era diferenciable en ningún punto
del intervalo.
Expresado geométricamente, esto estaría representado por una
curva continua que no tuviese pendiente en ningún sitio; naturalmente, no se
puede dibujar, excepto una sucesión de aproximaciones a ella. Sin embargo,
incluso cuando lo que parece obvio es de hecho verdadero, en opinión de
Bolzano, sigue siendo necesario deducirlo y hacerlo sin invocar ideas ajenas de
espacio o tiempo: las matemáticas están interesadas no sólo en establecer
verdades sino en determinar qué verdades reposan sobre otras.
El formalismo
Pese a lo dicho en la sección anterior, la influencia de Kant
no desapareció. El formalismo es una posición en filosofía de las matemáticas
que sigue siendo fiel a Kant en esencia aunque recoge las pretensiones de la
eliminación de la intuición pura en el sentido de intuición geométrica. Su
autor más importante es David Hilbert. Un formalista hilbertiano considera que
el lenguaje, en concreto el lenguaje matemático, puede reducirse a operar espaciotemporalmente
con signos.
Y saca como consecuencia que nuestros conceptos matemáticos
pueden ser expresados, como pensaba Kant, en operaciones sobre las relaciones
de espacio y tiempo. Sin embargo, cuando Kant decía esto pensaba básicamente en
la geometría. Cuando los formalistas hablan de operaciones sobre las relaciones
de espacio y tiempo piensan en los sistemas formales.
